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已知抛物线 C: y² = 4x 的焦点为 F,过点 F 且斜率为 1 的直线与 C 交于 A、B 两点,则 |AB| =
答案是怎么核对出来的:由 x²−6x+1=0 的韦达和 S=6 与积 P=1 独立算弦长得 8,再用焦点弦公式 x₁+x₂+p=8 互证,两条路径一致。
第一步,读参数。由 y² = 4x 得 2p = 4,所以 p = 2,焦点 F(1, 0),准线 x = −1。第二步,写直线。过 F 且斜率为 1 的直线为 y = x − 1。第三步,联立消元。把 y = x − 1 代入 y² = 4x 得 (x − 1)² = 4x,整理为 x² − 6x + 1 = 0。第四步,用韦达定理取 x₁ + x₂ = 6、x₁x₂ = 1。第五步,算弦长。弦长公式 |AB| = √(1 + k²)·√[(x₁+x₂)² − 4x₁x₂] = √2·√(36 − 4) = √2 × 4√2 = 8。第六步,用焦点弦公式复核:对 y² = 2px,过焦点的弦长等于 x₁ + x₂ + p = 6 + 2 = 8,两种方法结果一致。高频错误是把 2p 直接当成 p(得到焦点 (2,0) 与错误直线),以及弦长公式漏掉 √(1 + k²) 只算 |x₁ − x₂|。
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